. Целью настоящей статьи является разработка подходов к теории вероятностей комплексных событий на основе разрабатываемой авторами алгебры комплексной логики и введенных ими же ранее понятий комплексных множеств. Комплексная логика [1-4] является обобщением булевой алгебры на случай неадекватных, то есть содержащих возможную ошибку, объектов. К таким объектам можно отнести все, связанное с человеческим интеллектом, в том числе и саму комплексную логику. При этом традиционная и классическая логика оказывается применима лишь для адекватных (не содержащих ошибок, идеализированных) объектов и таким образом, является частным случаем комплексной логики, подобно тому, как действительные числа являются частным случаем комплексных.
Классическая теория вероятности разработана для действительных (реальных) событий Предметом этой теории являются адекватные (положительные) события (множества), которые являются аналогом положительных чисел. Применение комплексной логики позволяет расширить круг анализируемых объектов теории вероятности за счет введения новых понятий комплексных логических событий.
1. Понятие о комплексных логических событиях.
Традиционное определение случайного
события 
осуществляется
с помощью области (множества) внутри достоверного события, заключающегося в
попадании «бросаемой» материальной точки в область, ограниченную прямоугольником
(рис.1). При этом 
- событие,
противоположное 
. В соответствии
с [ 4 ], 
может быть
положительным, отрицательным или пустым действительным множеством. В зависимости
от этого назовем попадание точки в область 
положительным,
отрицательным или пустым действительным событием.
Рис.1. Действительное логическое событие.
Будем понимать под действительным
логическим событием 
такое действительное
событие, которому поставлен в соответствие логический термин принятой алгебры
логики. Например, для булевой алгебры логики можно поставить в соответствие
= true; 
= false.
Основой для введение понятия комплексного логического события являются:
- сформулированный в [3] комплексный логический закон тождества A=A+A’, согласно которому любой объект складывается из того, что он есть (А) и его восприятия A’:
- данное в [4] определение комплексного множества как упорядоченной пары действительных множеств.
действительных
логических событий 
и 
, где событие
- действительная
часть комплексного события, а событие 
- восприятие
события 
, соответствующее
мнимой части комплексного события S. Поясним это на
примере событий, описываемых булевской логикой, для которой 1 – достоверное,
а 0 – невозможное событие.Пусть 
= true
= 1 – событие, заключающееся в попадании стрелка в мишень, ограниченную областью
рис.1. Соответственно,
пусть 
= false = 0 – событие, заключающееся в непопадании стрелком в мишень. Восприятие результатов
стрельбы ( 
и 
) также может
принимать логические значения true и false.
Четыре возможные при этом комплексные события можно отразить на комплексной
плоскости рис.2, где положительное направление оси Re
соответствует событию 
, а оси Im – событию 
, а
отрицательное направление этих осей – событиям 
и 
.
Рис.2. Комплексная плоскость с логическими событиями.
Поясним содержание комплексных логических событий рис.2:
П = ПРАВДОПОДОБИЕ= (1,1), - попадание принимается за попадание:
Л = ЛОЖЬ = (0,1) - промах принимается за попадание:
И = ИСТИНА = (0,0) - промах принимается за промах: (1)
О = ОШИБКА = (1,0) - попадание принимается за промах.
Пусть вероятность попадания в мишень P( 
) =0.8, тогда
вероятность промаха P( 
)= 0.2. Пусть
вероятность восприятия результатов стрельбы как попадания P( 
) = 0.7, а как промаха P( 
) = 0.3. Тогда
комплексные вероятности четырех введенных комплексных событий можно выразить
так; Р(П) = (0.8, 0.7): Р(Л) = (0.2, 0.7): Р(И) = (0.2, 0.3): Р(О) = (0.8,
0.3), то есть как упорядоченные пары действительных вероятностей.
Заметим, что в случае независимости событий
и 
, можно определить
действительные вероятности комплексных событий как произведения вероятностей
действительных и мнимых частей события, то есть: 
0.8*0.7= 0.56;
0.2*0.7= 0.14;
0.2*0.3 =
0.06; 
0.8*0.3 =
0.24.
Таким образом, в отличие от действительных достоверных событий, которые делятся на два противоположных в соответствии с рис.1, комплексное логическое событие складывается из четырех комплексных событий, описываемых (1). Совокупную вероятность этих событий для нашего примера со стрельбой по мишени можно отразить в виде секторов диаграммы рис. 3.
Рис.3. Диаграмма вероятностей составляющих комплексного события.
Рассмотрим комплексное логическое событие с точки зрения булевской логики, делящей события на достоверные и невозможные. Для этого применим операции комплексной алгебры логики [4]. В соответствии с аксиоматикой комплексной логики [1-3] достоверным комплексным событием является наличие логической ошибки, которую можно выразить произведением
Л*О = ( 0,1)(1,0) = (0,1) = Л, 2)
то есть достоверным событием является ложное комплексное событие. Напротив, комплексным невозможным событием является истинное комплексное событие, являющееся результатом произведения событий, в которых логическая ошибка отсутствует, то есть
И*П = (0,0)(1,1) = (0,0) = И. (3)
2. Комплексные логические события высших порядков и их анализ.
и 
сами являются
комплексными событиями на примере восприятия человеком данных компьютерной игры
с экрана компьютера. В качестве такой игры использовалась разработанная авторами
программа XRSTOS (размещена на данно сайте) угадывания
человеком загаданного компьютером случайного целого числа из диапазона от 1
до 99 в условиях, когда компьютер дает ложные ответы с вероятностью 50%. Ответы
компьютер выбирает из множества {МАЛО, МНОГО} в зависимости от того, меньше
или больше загаданного вводимое человеком число. Игра (испытание) продолжается
до тех пор, пока искомое число не будет угадано, о чем компьютер «честно» сообщает
человеку..Ответы компьютера могут быть адекватными (МАЛО выдается за МАЛО и МНОГО за МНОГО) и неадекватными (МАЛО выдается за МНОГО и МНОГО за МАЛО), причем при игре человек ничего не знает об «искренности» компьютера.
Сформулируем данные ответы математически.
Пусть МАЛО соответствует логическому 0, а МНОГО – логической 1. Обозначим адекватные
ответы компьютера через 
, а неадекватные
- через 
. Тогда в
соответствии с (2) и (3) справедливы равенства:
=
= И*П = (МАЛО,МАЛО)(МНОГО,МНОГО)
= (0,0)
=
= Л*О =
(МАЛО,МНОГО)(МНОГО,МАЛО) = (0,1) (4)
и комплексная логическая плоскость рис 2 преобразуется с учетом того, что события
и 
(восприятие
человеком ответов компьютера) также могут принимать значения из (4). Таким образом,
будем иметь четыре комплексных логических события второго порядка:
П = ((0,0),(0,0)) - адекватный ответ компьютера принимается человеком за адекватный;
Л = ((0,1),(0,0)) - неадекватный ответ компьютера принимается за адекватный;
И = ((0,1),(0,1)) – неадекватный ответ компьютера принимается за неадекватный;
О = ((0,0),(0,1)) – адекватный ответ компьютера принимается за неадекватный. (5)
В процессе статистических испытаний программы XRISTOS (размещена на данном сайте), моделирующей рассмотренные комплексные логические события второго порядка участвовало по четыре игрока мужского и женского пола, а также специальная компьютерная программа угадывания чисел в условиях логической неопределенности ответов. Каждым из участников игры было проведено по 100 испытаний (циклов угадывания), в результате которых получены статистические закономерности, отражающие вероятность комплексных логических событий (5), учитывающих восприятие участниками неадекватных на 50% ответов компьютера.
На рис. 4-7 представлены усредненные распределения вероятностей Р частот g комплексных событий (5) для мужского (М), женского (Ж) и компьютерного (К) интеллекта. Заметим, что последний реализован в виде программы, использующей известный метод половинного деления интервала угадывания с добавлением случайных скачков в случае, когда угадывание заходит в логический тупик. Данная программа не повторяет своих ответов компьютеру дважды или более раз.
Из рис. 4 и 6 видно, что распределение частот правдоподобных и истинных комплексных логических событий напоминает нормальное распределение, а распределение частот ложных и ошибочных событий – распределение Пуассона. Кроме того, заметно, что психологическое восприятие неопределенности мужчинами и женщинами довольно значительно отличается друг от друга и от восприятия компьютерной программы с «железной» логикой угадывания. Это проявляется, в частности, и в том, что для правдоподобных событий у мужчин и ложных и истинных у женщин наблюдаются выбросы вероятности частоты событий, близкой к 1. Данные выбросы можно объяснить психологическими особенностями реакции игроков, проявляющейся, например, в повторении одинаковых или близких друг к другу чисел при ответах компьютеру без учета его ответов в случае усталости людей или по каким-то иным причинам.
Рис.4. Распределение вероятности частоты правдоподобных событий.
Рис.5. Распределение вероятности частоты ложных событий.
Рис.6. Распределение вероятности частоты истинных событий.
Рис.7. Распределение вероятности частоты ошибочных событий.
Диаграмма, показывающая распределение по видам интеллекта наиболее вероятных частот рассмотренных комплексных логических событий представлена на рис. 8.
Рис.8. Распределение наиболее вероятных частот комплексных событий.
Среднее число итераций успешного угадывания числа в программе XRISTOS составило для мужчин - 31, для женщин - 32, для компьютера - 36 итераций. Компьютерная программа первой угадала число в 54% испытаний, проводимых мужчинами и в 57% испытаний, проводимых женщинами.
3. Заключение.
В данной статье введено понятие комплексных логических событий и проанализированы такие события первого и второго порядков на конкретных примерах. В частности, приведены статистические результаты работы с игровой программой XRISTOS, моделирующей человеческий и компьютерный интеллект в рассмотренном логическом аспекте, основанном на применении разрабатываемой авторами комплексной логики к теории случайных событий. Дальнейший направления исследований могут быть связаны, с одной стороны, с анализом комплексных случайных событий четвертого и более высоких порядков, а с другой – с анализом пустых и отрицательных комплексных событий.
Список литературы.
1. Ионов А.С. Комплексная логика для идентификации систем, учитывающих возможные ошибки // Деп. рук. ВИНИТИ, №7018-В88 от 16.09.88.
2. Ионов А.С., Петров Г.А. Комплексная логика как инструмент научных исследований. - В сб. трудов Междунар. науч. конф. ММТТ-12, т.1, Великий Новгород, 1999, с. 94-96.
3. Ионов А.С., Петров Г.А. Интерпретация логических законов комплексной логикой. «Вестник НовГУ, серия «Технические науки», № 17, 2001 г.
4. Ионов А.С., Петров Г.А. Построение основ алгебры комплексной логики на базе расширения теории множеств. «Вестник НовГУ, серия «Математика и информатика», № 22, 2002 г.
